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公務(wù)員考試行測(cè)數(shù)量關(guān)系——表面切面問題

發(fā)布時(shí)間：2015-11-15 14:47:41 來(lái)源：一佳公務(wù)員考試網(wǎng) 點(diǎn)擊量： │ 我要分享
表面問題是指立體圖形外表面的求解問題，而切面問題是指立體圖形的內(nèi)切面的求解問題，它們均屬于面積問題的空間化。
【例1】（2010年4•25聯(lián)考）
將邊長(zhǎng)為1的正方體一刀切割為2個(gè)多面體，其表面積之和最大為（   ）。

【一佳名師解析】此題答案為A。切割成2個(gè)多面體后，表面積之和會(huì)等于原來(lái)正方體的外表面加上2倍的切面，由于原來(lái)正方體的外表面為6，那么現(xiàn)在關(guān)鍵是求出最大的切面面積。切面有多種切法，如下圖所示：
 
有兩類切法，第一類是平行切（相對(duì)于棱邊），第二類是非平行切，其中第1種和第2種是平行切，顯然第1種的切面大于第2種（高度一樣，但對(duì)角線最長(zhǎng)），至于第3種切法和第2種切法的比較則相對(duì)比較困難，因?yàn)樗鼈兊倪呴L(zhǎng)及高都不相同，但是注意到第3種切法中，邊長(zhǎng)的縮短速度要大于高的增長(zhǎng)速度（邊長(zhǎng)是線性縮短，高是根號(hào)縮短），因此無(wú)論怎么變化，第3種切面均小于第1種，故最大的切面面積為第1種，即，因此答案為A。
【變1】（2011年國(guó)考）
用一個(gè)平面將一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正四面體切分為兩個(gè)完全相同的部分，則切面的最大面積為（   ）。

【一佳名師解析】此題答案為B，估算法可解。由題目提供的信息，可以畫出如下的圖形：
 
顯然，我們可以按部就班地把切面面積算出來(lái)，但過程相對(duì)繁瑣，注意到切面面積肯定會(huì)小于任一個(gè)側(cè)面面積（極端化考慮，即把E點(diǎn)移動(dòng)到B點(diǎn)或C點(diǎn)，很明顯在AD長(zhǎng)度不變的情況下，只有AED的高是最短的，于是其面積自然會(huì)小于側(cè)面面積），容易求得邊長(zhǎng)是1的正三角形（即側(cè)面）的面積是，于是我們需要選一個(gè)稍微小于它的答案，因此答案為B。
    核心提示：多面體的最大切面往往是沿其中一個(gè)面的對(duì)角線方向切入。
【例2】（2007年國(guó)考）
現(xiàn)有邊長(zhǎng)1米的一個(gè)木質(zhì)正方體，已知將其放入水里，將有0.6米浸入水中。如果將其分割成邊長(zhǎng)0.25米的小正方體，并將所有的小正方體都放入水中，直接和水接觸的表面積總量為（   ）。
A．3.4平方米                 B．9.6平方米        
C．13.6平方米               D．16平方米
【一佳名師解析】此題答案為C，因子法可解。由物理學(xué)中的浮力定理，只要物體密度相同，那么相似的物體浸入水中的體積會(huì)成一定比例。由于分割的小正方體與原來(lái)的大正方體完全相似，故直接與水接觸的表面積也會(huì)和原來(lái)大正方體直接和水接觸的表面積成一定比例，而原來(lái)的大正方體直接和水接觸的表面積為0.6×1×4＋1×1＝3.4平方米，那么由倍數(shù)法則，所有小正方體的直接和水接觸的表面積必定含有3.4的因子，排除選項(xiàng)B和D；顯然，所有小正方體的直接和水接觸的表面積肯定會(huì)大于原來(lái)的表面積3.4，因此答案為C。
【變2】（2007年廣東）
一個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高恰好是三個(gè)連續(xù)的自然數(shù)，并且它的體積數(shù)值等于它的所有棱長(zhǎng)之和的2倍，那么這個(gè)長(zhǎng)方體的表面積是（   ）。
A．74                        B．148 
C．150                      D．154
【一佳名師解析】此題答案為B，方程法可解。設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為X＋1、X、X－1，于是長(zhǎng)、寬、高之和為3X，所有棱長(zhǎng)之和為4×3X＝12X，體積為X(X2－1)，根據(jù)題意，有X(X2－1)＝2×12X，解得X＝5，那么長(zhǎng)、寬、高分別是6、5、4，由于長(zhǎng)方體有3對(duì)面，于是它的表面積之和為2×(6×5＋6×4＋5×4)＝148，因此答案為B。
    核心提示：六面體是最�？嫉亩嗝骟w，考生需要熟悉它的面和棱的關(guān)系，即六面體有3對(duì)面，有4對(duì)棱。
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